Un sueño maravilloso

Ana Catalina Robles Núñez

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Licenciatura en Enseñanza de la Matemática Asistida por Computadora

Era un día hermoso, y Alicia se encontraba en su jardín sentada bajo la sombra de un árbol de cerezo, leyendo para su curso de Historia de las Matemáticas, mira hacia la copa del árbol, cuando de pronto ve un ave de hermosos colores brillantes, reposar sobre una de las ramas, lo mira detenidamente, lo oye cantar y distingue un canto muy peculiar 

–      Pi pi pi pi pi pi pi pi …..

Y se sonríe

De pronto, oye una campanada y aparece un hombre gordito, en forma de 8, con sombrero y botas de cuero, y le dice:

–      Esta noche se te presentarán tres personajes muy importantes, no temas y             escucha lo que tengan que decirte.

Estando Alicia dormida en su habitación, a media noche, oye a lo lejos unas campanadas, y una voz

–      ¡ Alicia !

Cuando dirige su mirada al fondo de su habitación,  observa un hombre sentado, con un libro antiguo en sus manos,  titulado Los Elementos.

Alicia sorprendida dice:

–      Tu eres Euclides, gran matemático y llamado el fundador de la geometría.

Euclides se levanta, orgulloso y abre su libro del cual sale un destello de luz

De pronto se encuentran en Alejandría

Euclides: – Este es mi mundo Alicia, lugar donde he desarrollado la mejor recopilación de conocimientos, perfectamente seleccionados y ordenados lógicamente, jamás conocido.

Para justificar una afirmación matemática no es suficiente el hecho de que ella esté corroborada por casos particulares sino que hay que establecerla como teorema, se ha de partir de ciertos primeros principios tan claros y evidentes que se puedan asumir sin necesidad de demostrarlos, a estos los llamaremos definiciones, axiomas y postulados y serán la base para deducir lógicamente los teoremas.

Alicia: – La importancia que radica de tu libro corresponde al establecimiento de un desarrollo lógico de la matemática, el establecimiento de un pensamiento axiomático-deductivo, el cual  por siglos ha recibido muchas críticas por sus deficiencias, lo que han permitido el desarrollo de diferentes geometrías, sin embargo no por ello la geometría Euclideana ha dejado de ser menos importante, aún ahora es una referencia obligatoria para el estudio de la geometría.

Euclides: – ¿críticas? ¿deficiencias?

Alicia: – Si muchos matemáticos, han dudado del quinto postulado propuesto de los Elementos.

Euclides: – Dejemos esta conversación acá, además se nos agota el tiempo.

Así que Euclides vuelve a abrir su libro, y regresan a la habitación

Una hora después, oye a lo lejos las mismas campanadas, y una voz

–      ¡ Alicia !

Lobachevski: – Hola Alicia soy Lobachevski y he venido a mostrarte el inicio de las geometrías no euclideas, desde mi época, a mostrar una geometría que no se fundamente en mediciones empíricas. Todo comienza con el quinto postulado de Euclides pues este es más extenso que los demás, no tiene la misma consistencia, además algunos pensaron en que hasta el mismo Euclides se mostraba insatisfecho por este postulado ya que postergó tanto su utilización.

Muchos estudiosos llegaron a preguntarse si realmente este postulado era necesario, o que podía ser demostrado a partir de los otros postulados o que podía ser reemplazado por uno equivalente más aceptable.

Alicia: – Entonces ¿cuál ha sido tu aporte en las matemáticas euclideanas?

Lobachevski: – Vayamos al  quinto postulado de los Elementos, yo he sustituido este  postulado por la siguiente proposición:

“Dada una recta y un punto fuera de ella, existe más de una recta a través del punto paralela a la recta”

Esto generó una nueva geometría y tiene implicaciones importantes en la concepción del pensamiento axiomático-deductivo.

Alicia: – Si e igualmente no eres el único que decidió buscar respuesta a la incertidumbre del quinto postulado. Reimman ha sido otro matemático que ha cambiado la perspectiva de la geometría, e interpretando la recta como un gran círculo sobre la superficie de una esfera crea una nueva geometría, igual de valida que la tuya.

Déjame contarte, que en el año 1871, Félix Klein llamó geometría parabólica a  la geometría euclidea, geometría hiperbólica a la geometría de Lobachevski y geometría elíptica a la geometría de Reimman.

Lobachevski: – ¿Geometría Hiperbólica? Bueno hemos terminado, volvamos a tu habitación.

Alicia: – Falta únicamente un personaje, ¿quién será?

Hilbert: – Saludos Alicia, yo soy Hilbert

Alicia: – ¡ Hilbert !  

Hilbert: – He de decirte, que el capítulo de la geometría euclideana, una geometría que no es rigurosa, termina con mi estudio de las geometrías.

La geometría euclideana se apoya en la intuición visual de las figuras, una base muy insegura sobre la que se encuentra construida toda la geometría euclideana. Así que yo axiomaticé la geometría, es en 1899 que publiqué mi trabajo este consiste en sustituir los axiomas de Euclides tradicionales por un conjunto formal de 21 axiomas que evitan las debilidades identificadas en los de Euclides, es un sistema axiomático que se compone de nueve nociones primitivas: tres términos primitivos los cuales son el punto,  la línea recta,  el plano, y varias relaciones primitivas: combinación, orden, paralelas, congruencia, continuidad, axioma de completitud.

Con esto cerramos este viaje Alicia.

Alicia: Todos han construido distintas geometrías importantes, y es gracias a Euclides que sembró la incertidumbre en los corazones de muchos estudiosos, que se han creado geometrías brillantes y bellas, y se han sentado las bases suficientes para su desarrollo aun ahora la geometría euclidea es la más conocida, pues explica con detalle nuestro entorno, y la que lleva tantos años en mantenerse viva.

 De pronto Alicia despierta y se da cuenta que todo fue un sueño maravilloso

Bibliografía

Ruiz, A. Historia y filosofía de las matemáticas - San José, CR: EUNED, 2003
Schmidt, S. Marín, M. Geometría Plana

Historia Matemático

Durante la historia han aparecido grandes matemáticos que con sus grandes aportes han destacado en diferentes áreas.

El matemático que cautivó mi atención fue Karl Friedrich Gauss quien nació en Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855 Matemático, físico y astrónomo alemán.

Según se cuenta en su biografía:

Cuando tenía tan sólo tres años, una mañana de un sábado de verano, cuando su padre procedía a efectuar las cuentas para abonar los salarios de los operarios a su cargo, el niño le sorprende afirmando que la suma está mal hecha y dando el resultado correcto. El repaso posterior de Gerhard dio la razón al niño. Nadie le había enseñado los números y mucho menos a sumar.

Su brillantez se ve reflejada a una edad tan corta que me surgen las dudas de ¿cómo se dió cuenta de ese error?, ¿cómo aprendió hacer esos cálculos matemáticos a tan corta edad?, ¿cómo surge esa pasión por las matemáticas?.

Hoy en día con su amplia experiencia en matemáticas, ¿de qué forma explicaría el proceso de realizar cálculos matemáticos desde cortas edades?, ¿qué inspiración tomó él?, ¿cómo enfocarse a que los estudiantes adquieran esa agilidad mental? Y ¿cómo cambiar los estereotipos que existen con las matemáticas?.

Conociendo el antes y el ahora, ¿cuáles son los errores que detecta en nuestra educación?, ¿cómo era antes pensar en estudiar matemáticas?

Para nadie es un secreto el avance que hemos tenido con respecto al uso de la tecnología, de igual manera en el campo de la educación y matemáticas no queda exento del uso de ella.

En el caso de Gauss pese a sus habilidades que desde luego no contó con tecnología  de este estilo en su juventud, ¿de qué manera se le debe enseñar a un estudiante trabajar con ella sin caer en el abuso de su uso, no volverlos dependientes?.

A Gauss le pediría que brinde conferencias donde converse de todas sus vivencias, que haga una comparación entre el antes y el ahora; que nos cuente qué cambiaría de su pasado, qué quelas Disquisitiones Arithmeticae.do inconcluso por presentar al mundo de sus trabajos.

El otro aspecto que me llamó enormemente la atención fue cuando en uno de mis primeros cursos de mi carrera en Matemáticas, un profesor me contó que:

A los nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner(su Profesor), propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta. Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc.

Sin lugar a duda, inventar esa fórmula tan útil aún en la actualidad gracias a su genialidad nos ha permitido resolver operaciones de forma más simple y rápido que para cualquier ingeniero, matemático, entre otros, es de los conocimientos que hay que tener desde inicios de los estudios universitarios.

A una edad tan temprana y con estos avances tan acelerados por parte de Gauss, ¿de qué forma estudiaba o hacía matemáticas; es decir, cómo se ejercitaba mentalmente? Y ¿de qué forma motivar a los estudiantes?.

Estos acontecimientos desde edades tan cortas son los que hacen que nos propongamos metas y aprendamos a soñar y más que un sueño o un anhelo, busquemos cumplirlos al ver lo que personas como Gauss han logrado.

Gauss desde edades muy cortas empezó a realizar sus primeras publicaciones, además, realizó “la primera demostración completa de la historia del Teorema fundamental del álgebra. El sueño del gran Euler”, luego realizó otras tres demostraciones del mismo, geométricamente y con complejos.

Gracias al duque Karl Wilhelm Ferdinand, Gauss pudo estudiar y al terminar sus estudios le siguió ayudando para que siguiera trabajando haciendo matemática, gracias a esto pudo publicar sus conclusiones de los números en su obra las Disquisitiones Arithmeticae.

Conociendo todas sus habilidades desde niño; la pasión de Gauss por las matemáticas no era la única, a pesar de que hubo un momento donde no sabía si dedicarse a ellas o a la filosofía clásica, en la cual unos años después realizó un doctorado en Filosofía.

Al conocer un poco el antes de Gauss y el ahora con todas las dificultades económicas de la época pero eso no impidió que se realizara como gran matemático y que existiera quien le ayudara a sufragar los gastos es una forma de que Gauss cumpla sus metas y valla más allá de lo que quizá pudo imaginarse.

Quizá un problema en la actualidad a parte del poco o nulo estímulo en muchos casos por el estudio o por ciertas disciplinas que existen, que no son miradas con buenos ojos ya sea por difícil o porque como muchos dicen no sirve de nada; aspectos así de erróneos hacen que nuestra juventud no busque una disciplina que le guste, que se apasione por ella, que quiera explorar cada día más y pensar en el más allá de lo posible como Gauss nos ha enseñado.

Es cierto que son tiempos muy diferentes, con necesidades distintas donde quizá antes pensar en educación estaba por los cielos; sin embargo hoy en día la educación superior es cierto que sus precios son altos en muchos casos pero también existen formas de buscar préstamos para continuar los estudios.

Hace falta mayor ayuda por parte del gobierno para solventar las necesidades que existen a nivel superior pues para nadie es un secreto que muchas personas en la actualidad no logran ingresar a las universidades públicas y lo peor son las brechas tan grandes que existen entre los centros universitarios públicos y privados.

Pese a todos los grandes aportes que Gauss dió a las matemáticas y a la astronomía, lo más importante de recalcar es su insistencia por seguir investigando más y más allá de lo permitido quizá en la mente de muchos matemáticos, que sin importar si lo creían cuerdo o no continuó.

El problema en la actualidad radica en que muchos jóvenes salen del colegio y no saben que estudiar, no les gusto el colegio o continúan estudiando sólo porque hoy en día es indispensable la educación, sin verdaderamente buscar una profesión que les agrade, que sepan que son buenos en ese campo y no sólo por buscar si es fácil o rápida de terminar con sólo el hecho de pensar en incorporarse rápidamente en el mercado laboral.

Por parte de los maestros y profesores hace falta mayor apoyo a los estudiantes, enseñarles a crecer no sólo como personas sino a realmente creer que se pueden romper los límites de las metas que cada uno se proponga pero esto sólo buscando verdaderamente lo que me apasiona en la vida.

Hoy en día todo es tan acelerado que lamentablemente nosotros como docentes sólo enseñamos los programas establecidos por el Ministerio de Educación, donde sólo nos enfocamos en cumplirlo y olvidamos que trabajamos con personas muy jóvenes que están en una etapa de conocerse a sí mismos donde hay que ayudarles y presentarles el mundo real y que se desarrollen mentalmente, que se propongan metas y lo más importante que las cumplan.

Lamentablemente, hoy en día las matemáticas son el terror de muchos, decir que se estudia matemática no es la carrera más gustada o más dada en las universidades, al decir que se estudia esto se hace una relación como de persona muy brillante sin amigos y que vive encerrada en su mundo.

En las épocas como la de Gauss, los matemáticos se encerraban mucho hacer matemáticos y muy envueltos en su mundo realizaban sus aportes tan brillantez, a diferencia quizá en la actualidad que el entorno a cambiado, los matemáticos actuales no tienen la misma dedicación que antes.

En conclusión, grandes logros se han dado a través de la historia en las matemáticas, así como Gauss nos ha sorprendido desde su niñez con todos sus logros, en la actualidad hace falta un cambio de actitud hacia el cómo ver las matemáticas; se debe dejar de lado ese temor que se le inculca a los niños en esta área que ni siquiera conocen y ya llevan en sus mentes que es muy complicado.

El estimulo que tanto niños como jóvenes deben recibir debe crecer en nuestra actualidad, mostrar cómo grandes matemáticos de antes lograron cosas que a lo mejor ni ellos sabían que se podía pero no dieron marcha atrás y confiaron en ellos mismos.

Encuentro con Euclides

José Alejandro Vásquez Loría

200525114

ENSAYO 4

Cierto día me encontraba caminando por un hermoso paraje, el día soleado, se escuchaba el cantar de las aves, era un día especial para pensar. A lo lejos vi algo que me llamo la atención, un hombre sentado en una colina observando el panorama y escribiendo en el suelo, decidí ir a su encuentro y observé que su vestimenta era muy particular, al mejor estilo de la antigua Grecia, le pregunté su nombre al cuál respondió como Euclides. Me pareció extraño pero no podía ser el famoso Euclides de la antigua Grecia. Pensaba en que decirle cuando me comentó que no sabía como había llegado hasta ahí, simplemente sintió una brisa pasar y al parpadear se encontraba en ese lugar, sonrió y me dijo: -Culparte no puedo si mi historia no crees, al fin y al cabo, lo que es afirmado sin pruebas puede ser negado sin pruebas- No se como ni porque, que distorsión de espacio tiempo había causado tal encuentro, pero sin duda alguna era el.

Me preguntó en donde se encontraba a lo que respondí que aproximadamente 2300 años después de su época, ambos estábamos sorprendidos, el mostraba interés en preguntar como había evolucionado la humanidad y si sus conocimientos habían sido de utilidad, yo mostraba más interés en hablar de sus conocimientos y como llegó a sus deducciones, pero primero decidí responder sus inquietudes.

–Pues bien – le dije – Hay mucho que hablar y no se por donde comenzar. Sus conocimientos han sido muy respetados e importantes para el desarrollo de la humanidad, tan importantes que se consideran deben ser de dominio general y forman parte de todos los sistemas educativos en el mundo. Sin duda alguna la recopilación que llevaste a cabo sobre las matemáticas de la época así como su formalización ha sido una de las obras más trascedentes de todos los tiempos. –

–Aunque  el inicio de está obra ha sido generador de discrepancias a través de la historia –

– ¿Discrepancias? – Preguntó un tanto admirado

– Sí – Respondí – El quinto postulado siempre ha sido fuente de discusiones pues es muy complejo para ser considerado un postulado –

– ¿Complejo? – Pregunto un tanto admirado – Pero si obvio es que si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos –

No pude evitar sonreír. – Pues para todos no es tan evidente – Respondí – Muchos han considerado que este postulado debería ser un teorema y a través de la historia muchos matemáticos trataron de demostrar este postulado a partir de los otros cuatro y los axiomas ó de sustituirlo por otro más “evidente”, de echo, este quinto postulado suele ser equivalente a lo que hoy conocemos como el axioma de Playfair el cuál enuncia qué dados una recta y un punto fuera de ella existe una única recta que pasa por dicho punto de manera paralela a la recta dada, así, asumiendo este como verdadero puede demostrarse el quinto postulado y asumiendo como verdadero el quinto postulado puede demostrarse este “axioma”. Incluso también hubo quienes trataron de demostrar que el quinto postulado no era cierto. Pero tras años de intentos se asumió la independencia de este postulado–

– Vaya – Dijo sorprendido – No pensé en crear tanta controversia con algo tan evidente pero no encontré una mejor manera de enunciarlo, creo que cause muchos problemas–

– ¿Problemas? ­– Replique – Ningún problema, de echo todo este debate sobre el quinto postulado enriqueció ampliamente a las matemáticas y nos permitió ir más haya con el descubrimiento de lo que hoy conocemos como geometrías no euclideas –

– ¿No euclideas? – Preguntó un tanto asombrado

– Sí – Respondí – Verás asumiendo el quinto postulado como verdadero se desarrolla una geometría en un mundo bidimensional a la cuál llamamos geometría euclidea en honor a ti, pues en ella se cumplen todo lo mencionado en “Los Elementos”. Pero en el camino de discusión sobre el quinto postulado al cambiar este por otros se desarrollaron nuevos tipos de geometrías, a estas las conocemos como geometrías no euclideas. Estas geometrías han contribuido en gran medida a explicar más el mundo y universo que nos rodea. –

– Pero la geometría que desarrollé explica el orden natural del mundo – Me replicó un tanto confundido

– Si y no – Respondí – Verás, la geometría que desarrollaste es válida en un mundo plano de dos dimensiones y es muy utilizada en la actualidad y aproxima muy bien los resultados, pero nuestro mundo es tridimensional y además no es plano, es casi esférico, por ello, una geometría basada en una esfera representaría mejor el mundo que una geometría plana –

Me miró un poco intrigado, y yo continué.

– Si dibujas una línea extensa sobre la superficie de la Tierra, ¿que obtendríamos?      

– Pues una recta ya que esta se puede trazar dados dos puntos cualesquiera – Respondió

– Exacto, pero está recta es una línea curva, si observáramos esa línea desde el espacio veríamos su curvatura, pero aun así cumple con tus nociones de rectas, esta geometría se conoce ahora como geometría esférica y también existe otra denominada geometría hiperbólica, en las cuales se cumplen todas tus nociones y postulados excepto el quinto, como ves tu geometría fuel el impulso en años posteriores del desarrollo de nuevas geometrías he inclusive una geometría más general de la cuál la geometría euclidea, la elíptica y la hiperbólica son casos particulares –

– ¿Cómo es esa geometría general? – Preguntó un tanto curioso

– Esta geometría se conoce como geometría de Riemann – Respondí –Riemann fue un matemático del siglo XIX quién realizo varios aportes a las matemáticas, en particular estudió el área bajo curvas descubriendo así el concepto de integral. Con sus descubrimientos planteo una geometría estudiando las variedades diferenciales, con esto expuso una geometría más general que tiene como casos particulares a las geometrías que hemos estado mencionando. –

Me miró un tanto sorprendido, parecía comprender poco pero a la vez estaba fascinado, yo proseguí.

– Inclusive, un caso particular de esta geometría de Riemann, es la que considera no tres sino cuatro dimensiones, contribuyo en gran medida al desarrollo de la teoría de la relatividad, la cuál nos ha permitido entender de una mejor manera el orden y funcionamiento del universo aunque aun quedan muchas cosas por descubrir y explicar–

– Parece ser que tan solo vi la base de la montaña y no llegué ni siquiera a ver la cima– Me dijo mostrando una mezcla de decepción y admiración, pero su cara se torno alegre y continuó – En mi época era difícil tan siquiera soñar con lo que me has dicho, pero me alegra saber que mis bases contribuyeron al desarrollo de la humanidad y a comprender el mundo que nos rodea, estoy feliz de que mi trabajo no haya sido en vano –

– Tu trabajo ha sido siempre admirado y respetado, y podemos decir que todas estas nuevas teorías explicativas de la realidad, nuestro mundo y el universo comenzaron contigo y tan solo han ido mejorando con el pasar de los años, yo no pensaría que viste la base de la montaña, mejor dicho, eres la base de la montaña sobre la cuál hemos desarrollado nuevos conceptos y teorías pero aún estamos lejos de llegar a la cima pues quedan muchas cosas por descubrir. –

Sonrió, y cambio sus dibujos, comenzó a dibujar triángulos con lados curvos como tratando de imaginar y comprender lo que habíamos hablado, pero ahora era mi turno, quería preguntarle sus razonamientos, sus ideas, como había sido capaz de por primera vez darle un formalismo a las matemáticas, cerré mis ojos y respiré para preguntarle, sentí una brisa y al abrirlos ya no estaba, no podía en tenderlo pero sus dibujos aun estaban en el suelo,  así que, me encontré en esa colina, dibujando triángulos y otras formas geométricas euclideas tratando de comprender a una de las primeras mentes más brillantes del mundo…

Preguntas del rigor de las matemáticas

Pregunta 1

¿Cuál es el nombre del personaje que se presenta en la siguiente fotografía?

 
 

R/    Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

Pregunta 2

¿Cuál es el nombre de los matemáticos que propusieron definiciones que utilizaban la noción de convergencia y que a la vez pretendían evitar el "error lógico'' de Cauchy.?

R/    Méray y Weierstrass

Pregunta 3

Escribió en  1872 su libro Nouveau preçis d'analyse infinitésimale

R/ Méray en su libro, decía que el límite de una sucesión convergente determinaba ya fuera un número racional o un número que llamó "ficticio'', y los "ficticios'' pueden ordenarse: son los irracionales.

Pregunta 4

Nombre del matemático que no publicó sus resultados sobre la aritmetización, y se conocen, más bien, por medio de sus discípulos Ferdinand Lindemann y Eduard Heine.

R/ Weierstrass

Pregunta 5

¿Quién fue matemático, filósofo y cura de Bohemia?

R/  Bernhard Bolzano                                                          

Pregunta 6

¿Quién estableció con claridad su opinión de que los infinitesimales no existían, al igual que los números infinitamente grandes?                                            

R/  Bernhard Bolzano                                                

Pregunta 7

¿Quién inventó una función continua en un intervalo que no tenía derivada en ningún punto de ese intervalo y que se le atribuye a Weierstrass?

R/  Bernhard Bolzano                                                                       

Pregunta 8

Quién conoció primero el criterio de convergencia de una serie que señala: si para cada  la diferencia S_n – S_n+p tiende a 0 , cuando n tiende a oo , la serie converge?

R/  Bernhard Bolzano                                               

Pregunta 9

¿Quién ofreció una definición de continuidad muy rigurosa: f(x)  es continua es un intervalo si para toda x  en el intervalo, la diferencia f(x+w)-f(x) puede hacerse tan pequeña como uno quiera tomando  suficientemente pequeña?

R/  Bernhard Bolzano . Se trata de hecho de una definición casi semejante a la que se usa actualmente. Sin embargo no fue conocida durante Bolzano, hasta que la redescubre Hermann Hankel                                                             

Pregunta 10

¿Quién es comparado con Euler en su prolífica producción matemática?

R/  Augustin Cauchy                                                            

Pregunta 11

 El objetivo de este matemático era establecer una separación de la idea de límite y con relación a su origen geométrico, físico o intuitivo, ¿quién fue?

R/  Augustin Cauchy                                                            

Pregunta 12

 En su trabajo trató de dar cuenta de la naturaleza de los números irracionales, ofreciendo la idea de que un número irracional era simplemente el límite de varias fracciones racionales que se le acercaban, ¿Quién fue?

R/  Augustin Cauchy                                                                        

Pregunta 13

Este matemático no estaba de acuerdo con el enfoque que desarrolló Lagrange por medio de serie de potencias. Su planteamiento está más cercano al de d’Alembert, que partía del concepto de límite, ¿Quién fue?

R/  Augustin Cauchy                                                            

Pregunta 14

¿Quién definió el límite de la siguiente manera: Cuando los sucesivos valores que tome una varialble se aproximan indefinidamente a un valor fijo de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se le llama el límite de todos los demás?

R/  Augustin Cauchy

                                                                      

Pregunta 15

Define la derivada de la función f(x) con respecto a x más o menos así: si Δx=i  un incremento de x , se considera la razón Δx/Δy=(f(x+i)-f(x) )/i y define la derivada f'(x)  al límite de esta razón cuando  tiende a cero. ¿Quién fue?

R/  Augustin Cauchy

                                                          

Pregunta 16

¿Quién define la continuidad de la siguiente manera: “una función f(x) es continua entre ciertos límites dados de x , si entre estos límites al darse un incremento infinitamente pequeño i de x , siempre se obtiene un incremento infinitamente pequeño f(x+i)-f(x)  de la función”?

R/  Augustin Cauchy

Pregunta 17

¿Quién retomó la noción de integral como límite de sumas?

R/  Augustin Cauchy

Pregunta 18

Nombre del Matemático que definió la continuidad uniforme para funciones de una o varias variables

R/  Heine

Pregunta 19

Nombre del Matemático que demostró que si una función es continua en un intervalo real cerrado y acotado es uniformemente continua.

R/  Heine

Pregunta 20

Nombre del matemático que no compartía la frase: “una variable se acerca a un límite” porque sugieren tiempo y movimiento (algo intuitivo)

R/  Weierstrass

Pregunta 21

Nombre de los matemáticos que propusieron definiciones que utilizaban la noción de convergencia y pretendían evitar el “error lógico” de Cauchy

R/  Méray y Weierstrass

Pregunta 22

Nombre del Matemático que mencionaba en su libro: que el límite de una sucesión convergente determinaba ya fuera un número racional o un número que llamó “ficticios”

R/  Méray

Pregunta 23

A qué números actualmente, corresponden los números ficticios

R/  Irracionales

Pregunta 24

Weierstrass no publicó sus resultados sobre la aritmetización, estos se conocen  por medio de sus discípulos, dé el nombre de sus discípulos

R/  1- Ferdinand Lindemann   2- Eduard Heine