David
Masís Flores
200546446
Conversando con Bernhard Riemann
Georg Friedrich Bernhard Riemann fue
un matemático muy prominente que murió antes de los 40 años y realizó
importantes contribuciones a la matemática y otras áreas. Riemann estudió las funciones
de una variable, estableció la geometría de Riemann negando el quinto postulado
de Euclides y definió las integrales que llevan su nombre. Además realizó
trabajos en física como la dinámica de fluidos, el magnetismo, la teoría de
gases, entre otras.
Es por sus grandes contribuciones a
la matemática y la física que se revive a este matemático para que se de cuenta
de las repercusiones que tuvieron sus aportes en la matemática para la
resolución de problemas de otras áreas. Se dará una breve biografía de este
prominente matemático para tener un panorama más amplio de lo que realizó
Riemann.
Riemann nació en Alemania, el 17 de
setiembre de 1826 y murió el 20 de julio de 1866 en Italia. Realizó importantes
contribuciones en análisis matemático y geometría diferencial. Estableció la
función Zeta de Riemann, la integral de Riemann, las variedades de Riemann, las
superficies de Riemann y la geometría de Riemann. Además sentó las bases para
el desarrollo de la teoría de la relatividad general.
Su padre era pastor luterano y
Riemann era el segundo de seis hermanos. En 1842 entró al Johanneum Lüneburg y
demostró una impresionante capacidad intelectual que lo llevaba a ser mejor que
sus profesores. En 1846 empezó a estudiar filología y teología en la Universidad
de Göttingen y en 1847 comenzó a estudiar matemáticas, año en que se trasladó a
Berlín y regresó a Göttingen en 1849. En 1859 formuló la hipótesis de Riemann y
se hizo profesor ordinario en dicha universidad.
Ahora que hemos revivido a Riemann, conversaremos
con él y daremos cuenta de cómo han influido sus aportes a la matemática y
otras áreas.
Bueno Riemann, sus principales
contribuciones a la matemática han servido de mucho en áreas como la ingeniería
y en la misma matemática por supuesto. Es increíble que sus aportes hayan sido
vitales en el desarrollo de otras teorías y en la resolución de algunos
problemas. Su gran capacidad intelectual señor Riemann ha permitido el pleno
desarrollo de la matemática y ahora quiero mencionarle los aspectos más
importantes en los que han influido sus aportes.
Riemann con el establecimiento de la
integral que lleva su nombre, las aplicaciones que han surgido han permitido
resolver numerosos problemas de la ingeniería principalmente y se ha extendido
a otras áreas de la matemática. Por ejemplo con el desarrollo de su integral y
la manera de abordarlo mediante el concepto de sumas de Riemann, este tipo de
integración que usted desarrolló permite calcular el área entre curvas, el
volumen de sólidos de revolución, momentos de inercia en el caso de las
aplicaciones a la física, así como a la termodinámica y métodos ingenieriles
como los elementos finitos que tienen su base en las sumas de Riemann. Vemos
entonces, señor Riemann, que su integral ha tenido grandes aplicaciones y
principalmente tiene importancia en la resolución de problemas ingenieriles que
permiten el desarrollo de teorías más avanzadas de modo que la calidad de vida
de las personas sea mejor.
Además dentro de la misma
matemática, la integral se emplea por ejemplo en la aproximación de polinomios
y es extendida a las ecuaciones diferenciales y el álgebra. Note don Riemann,
que esta teoría ha tenido un impacto importante en el desarrollo de las
ciencias y ha permitido utilizarla para crear métodos y teorías que han
resultados ser fundamentales.
Bien mi amigo Riemann, ya hemos
analizado los alcances que tuvo su valiosa contribución a las ciencias como lo
es la integral de Riemann y las sumas de Riemann. Le contaré ahora lo más
destacado del desarrollo de su geometría: la geometría de Riemann y el
establecimiento de las variedades de Riemann.
El considerar dimensiones superiores
en su geometría, trajo importantes consecuencias a las ciencias en general. La
geometría desarrollada por usted, Riemann, permitió generalizar la geometría
diferencial de superficies en tres dimensiones y además el estudio de las
variedades diferenciales con la métrica riemaniana, permitió obtener nociones
de arco, longitud de arco y volúmenes. Otro aspecto muy importante del
establecimiento de su geometría permitió resolver problemas de topología
diferencial y además dicha geometría se aplica a la teoría de la relatividad de
Einstein. Einstein utilizó los conceptos desarrollados por Riemann para el
desarrollo de su teoría, es decir Riemann contribuyó de manera muy importante
con la física moderna.
Cabe mencionar también que el
establecimiento del análisis tensorial, con el que usted trabajó, conduciría al
principio de la relatividad general. Además su geometría se puede aplicar a la
electricidad y el magnetismo en la estructura de la relatividad general.
Es así Riemann que el impresionante alcance
de su geometría y sus importantes contribuciones en esta área han permitido
establecer teorías y resolver problemas como los de topología.
Finalizamos
mi amigo matemático con un importante problema abierto, y es su famosa
hipótesis: la hipótesis de Riemann. Dicha hipótesis consiste en una conjetura
sobre la distribución de los ceros de la función Zeta de Riemann, la cual está
definida para valores mayores que 1. Como usted recordará señor Riemann, dicha
función es 
.
.
Se trata de una serie convergente en la región del plano
definida para la parte real mayor que 1. Recuerde que usted observó que se
puede extender a todo el plano complejo con un sólo polo en 
, en este caso se adopta la expresión funcional 
donde 
es la función Gamma de Legendre. Los ceros triviales
de la función se ve que son claramente los números pares negativos, los no triviales
son lo que se intentan identificar en la conjetura, la cual afirma que: “La
parte real de todo cero no trivial de la función Zeta de Riemann es 
”.
, en este caso se adopta la expresión funcional donde es la función Gamma de Legendre. Los ceros triviales
de la función se ve que son claramente los números pares negativos, los no triviales
son lo que se intentan identificar en la conjetura, la cual afirma que: “La
parte real de todo cero no trivial de la función Zeta de Riemann es ”.
Como bien es sabido por usted, la importancia de
encontrar los ceros de la función anterior es porque permite determinar la
distribución de los números primos. Es un problema que nadie a podido resolver,
una conjetura que no se ha podido demostrar. Ahora que usted ha revivido, puede
demostrar su hipótesis y tener su teoría más completa.
A manera de conclusión, los aportes de Riemann fueron
impresionantes y permitieron definir los fundamentos de la física moderna
(teoría de la relatividad), generalizar la geometría diferencial y resolver
problemas que se generarían con el desarrollo de su integral mediante sumas de
Riemann.
Bibliografía
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1]
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2]
[Inter 3]
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