viernes, 15 de junio de 2012

Un sueño maravilloso


Ana Catalina Robles Núñez
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Licenciatura en Enseñanza de la Matemática Asistida por Computadora


Era un día hermoso, y Alicia se encontraba en su jardín sentada bajo la sombra de un árbol de cerezo, leyendo para su curso de Historia de las Matemáticas, mira hacia la copa del árbol, cuando de pronto ve un ave de hermosos colores brillantes, reposar sobre una de las ramas, lo mira detenidamente, lo oye cantar y distingue un canto muy peculiar 
      Pi pi pi pi pi pi pi pi …..
Y se sonríe
De pronto, oye una campanada y aparece un hombre gordito, en forma de 8, con sombrero y botas de cuero, y le dice:
      Esta noche se te presentarán tres personajes muy importantes, no temas y             escucha lo que tengan que decirte.
Estando Alicia dormida en su habitación, a media noche, oye a lo lejos unas campanadas, y una voz
      ¡ Alicia !
Cuando dirige su mirada al fondo de su habitación,  observa un hombre sentado, con un libro antiguo en sus manos,  titulado Los Elementos.
Alicia sorprendida dice:
      Tu eres Euclides, gran matemático y llamado el fundador de la geometría.
Euclides se levanta, orgulloso y abre su libro del cual sale un destello de luz
De pronto se encuentran en Alejandría
Euclides: – Este es mi mundo Alicia, lugar donde he desarrollado la mejor recopilación de conocimientos, perfectamente seleccionados y ordenados lógicamente, jamás conocido.
Para justificar una afirmación matemática no es suficiente el hecho de que ella esté corroborada por casos particulares sino que hay que establecerla como teorema, se ha de partir de ciertos primeros principios tan claros y evidentes que se puedan asumir sin necesidad de demostrarlos, a estos los llamaremos definiciones, axiomas y postulados y serán la base para deducir lógicamente los teoremas.
Alicia: – La importancia que radica de tu libro corresponde al establecimiento de un desarrollo lógico de la matemática, el establecimiento de un pensamiento axiomático-deductivo, el cual  por siglos ha recibido muchas críticas por sus deficiencias, lo que han permitido el desarrollo de diferentes geometrías, sin embargo no por ello la geometría Euclideana ha dejado de ser menos importante, aún ahora es una referencia obligatoria para el estudio de la geometría.
Euclides: – ¿críticas? ¿deficiencias?
Alicia: – Si muchos matemáticos, han dudado del quinto postulado propuesto de los Elementos.
Euclides: – Dejemos esta conversación acá, además se nos agota el tiempo.
Así que Euclides vuelve a abrir su libro, y regresan a la habitación
Una hora después, oye a lo lejos las mismas campanadas, y una voz
      ¡ Alicia !
Lobachevski: – Hola Alicia soy Lobachevski y he venido a mostrarte el inicio de las geometrías no euclideas, desde mi época, a mostrar una geometría que no se fundamente en mediciones empíricas. Todo comienza con el quinto postulado de Euclides pues este es más extenso que los demás, no tiene la misma consistencia, además algunos pensaron en que hasta el mismo Euclides se mostraba insatisfecho por este postulado ya que postergó tanto su utilización.
Muchos estudiosos llegaron a preguntarse si realmente este postulado era necesario, o que podía ser demostrado a partir de los otros postulados o que podía ser reemplazado por uno equivalente más aceptable.
Alicia: – Entonces ¿cuál ha sido tu aporte en las matemáticas euclideanas?
Lobachevski: – Vayamos al  quinto postulado de los Elementos, yo he sustituido este  postulado por la siguiente proposición:
“Dada una recta y un punto fuera de ella, existe más de una recta a través del punto paralela a la recta”
Esto generó una nueva geometría y tiene implicaciones importantes en la concepción del pensamiento axiomático-deductivo.
Alicia: – Si e igualmente no eres el único que decidió buscar respuesta a la incertidumbre del quinto postulado. Reimman ha sido otro matemático que ha cambiado la perspectiva de la geometría, e interpretando la recta como un gran círculo sobre la superficie de una esfera crea una nueva geometría, igual de valida que la tuya.
Déjame contarte, que en el año 1871, Félix Klein llamó geometría parabólica a  la geometría euclidea, geometría hiperbólica a la geometría de Lobachevski y geometría elíptica a la geometría de Reimman.
Lobachevski: – ¿Geometría Hiperbólica? Bueno hemos terminado, volvamos a tu habitación.
Alicia: – Falta únicamente un personaje, ¿quién será?
Hilbert: – Saludos Alicia, yo soy Hilbert
Alicia: – ¡ Hilbert !  
Hilbert: – He de decirte, que el capítulo de la geometría euclideana, una geometría que no es rigurosa, termina con mi estudio de las geometrías.
La geometría euclideana se apoya en la intuición visual de las figuras, una base muy insegura sobre la que se encuentra construida toda la geometría euclideana. Así que yo axiomaticé la geometría, es en 1899 que publiqué mi trabajo este consiste en sustituir los axiomas de Euclides tradicionales por un conjunto formal de 21 axiomas que evitan las debilidades identificadas en los de Euclides, es un sistema axiomático que se compone de nueve nociones primitivas: tres términos primitivos los cuales son el punto,  la línea recta,  el plano, y varias relaciones primitivas: combinación, orden, paralelas, congruencia, continuidad, axioma de completitud.
Con esto cerramos este viaje Alicia.
Alicia: Todos han construido distintas geometrías importantes, y es gracias a Euclides que sembró la incertidumbre en los corazones de muchos estudiosos, que se han creado geometrías brillantes y bellas, y se han sentado las bases suficientes para su desarrollo aun ahora la geometría euclidea es la más conocida, pues explica con detalle nuestro entorno, y la que lleva tantos años en mantenerse viva.
 De pronto Alicia despierta y se da cuenta que todo fue un sueño maravilloso

Bibliografía

Ruiz, A. Historia y filosofía de las matemáticas - San José, CR: EUNED, 2003
Schmidt, S. Marín, M. Geometría Plana

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